怎么用代码实现正弦值计算

泰勒展开

根据泰勒展开, 我们都知道:

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots + \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots

只取前几项的话

f (x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}

发现 f(x) 从 [0, π/2] 的值和 sin(x) 的值差的也不是很多嘛~(我的要求没那么高):

就很好办辣~

Coding

先来第一步取模, 把自变量的取值缩小到 [0, 2π), 再缩到 [0, π], 接着是 [0, π/2]. 现在就可以用 f(x) 计算近似的正弦值啦.

/* my sin(x) */
#define myPI 3.1415926
// 这个实现后文我会称作"咱的 f(x)"
double f(double x) {
    // to [0, 2π)
    double twopi = 2.0 * myPI;
    x = fmod(x, twopi);
    if (x < 0) x += twopi;

    // to [0, π/2]
    int sign = 1;
    if (x >= myPI) {
        x -= myPI;
        sign = -1;
    }
    if (x > 0.5 * myPI) {
        x = myPI - x;
    }
    // now x is all in [-π/2, π/2]
    double x2 = x * x; // x^2
    double x3 = x2 * x; // x^3
    double x5 = x2 * x3; // x^5
    return sign * (x-x3/6+x5/120);
}

我测试了一下, 精度还是能用的, 当 x=π/2 时, 有 f(x)-sin(x) 的最大值≈ 0.00452485553.
还行

编程语言实现中的正弦函数具体写法

很多编程语言标准库中都是包含 sin(x) 函数的, 当然, 它肯定不能像咱的 f(x) 写的这么糙, 来瞅眼

glibc

接下来我会用"输入"这个字眼来代替 sin(x) 的自变量的值.

glibc 中的 sin() 实现可以在这里查看, 函数入口是这个文件中的 __sin() 函数.
不得不说还得是 glibc, 它在不同输入范围时, 会同时确保精度和速度, 使用不同的方法计算(当然, 核心还是泰勒展开).
先介绍一些 __sin() 所调用的函数:

reduce_sincos(): 范围缩减, 把范围缩到 -π/4~π/4. (类似咱的 f(x) 中的 to [0, 2π) 和 to [0, π/2])
__branred(): 同样是范围缩减, 但比 reduce_sincos() 更复杂, 更适合大数. 在这里可以查看它的实现.
do_sin(), do_cos(): 计算的核心, 在输入较小时, 它会直接干脆利落地用泰勒级数(这时误差较小); 而... 当输入大于某个阈值时, 为了缩小误差, 在利用泰勒级数的同时会查表来补偿误差(没错, 就是查表, 查 400 行的表).
do_sincos(): 我们知道, 泰勒级数计算总归有点误差, 而当输入更接近原点的误差更小, 这个函数会在判断后有选择地使用 do_sin() 或 do_cos() 来计算.

下面正式介绍一下 __sin(), 它所做的主要是判范围, 选方法, 去用:

我们下面所说的"大小"指输入的绝对值大小

当输入极小时, 函数图像与 y=x 极接近, 直接用输入值代替返回值.
再大些时, 范围还是比较小, 可以直接用 do_sin().
再大些时, 范围相对小, 用 do_cos().
再大些时, 范围大了, 需要 reduce_sincos() 去缩, 再调用 do_sincos().
再大些时, 范围很大啦, 直接使用 reduce_sincos() 会产生误差, 所以这里会使用 __branred() 来缩范围(开销更大也更精确), 再调用 do_sincos().
再大些时, 这时已经极大了, 还算什么算啊, 返回 NaN 得了.

CPython